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            2020年山東成人高考文科數學難點講解:等差數列、等比數列

            山東成人高考網www.gzjiahua168.cn 發布時間: 2020年10月17日

                    等差、等比數列的性質是等差、等比數列的概念,通項公式,前n項和公式的引申.應用等差等比數列的性質解題,往往可以回避求其首項和公差或公比,使問題得到整體地解決,能夠在運算時達到運算靈活,方便快捷的目的,故一直受到重視.成人高考中也一直重點考查這部分內容。


              ●難點磁場


              (★★★★★)等差數列{an}的前n項的和為30,前2m項的和為100,求它的前3m項的和為_________.


              ●案例探究


              [例1]已知函數f(x)= (x<-2).


              (1)求f(x)的反函數f--1(x);


              (2)設a1=1, =-f--1(an)(n∈N*),求an;


              (3)設Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N*,有bn< 成立?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.


              命題意圖:本題是一道與函數、數列有關的綜合性題目,著重考查學生的邏輯分析能力,屬★★★★★級題目.


              知識依托:本題融合了反函數,數列遞推公式,等差數列基本問題、數列的和、函數單調性等知識于一爐,結構巧妙,形式新穎,是一道精致的綜合題.


              錯解分析:本題首問考查反函數,反函數的定義域是原函數的值域,這是一個易錯點,(2)問以數列{ }為橋梁求an,不易突破.


              技巧與方法:(2)問由式子 得 =4,構造等差數列{ },從而求得an,即“借雞生蛋”是求數列通項的常用技巧;(3)問運用了函數的思想.


              解:(1)設y= ,∵x<-2,∴x=- ,


              即y=f--1(x)=- (x>0)


              (2)∵ ,


              ∴{ }是公差為4的等差數列,


              ∵a1=1, = +4(n-1)=4n-3,∵an>0,∴an= .


              (3)bn=Sn+1-Sn=an+12= ,由bn< ,得m> ,


              設g(n)= ,∵g(n)= 在n∈N*上是減函數,


              ∴g(n)的最大值是g(1)=5,∴m>5,存在最小正整數m=6,使對任意n∈N*有bn< 成立.


              [例2]設等比數列{an}的各項均為正數,項數是偶數,它的所有項的和等于偶數項和的4倍,且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍,問數列{lgan}的前多少項和最大?(lg2=0.3,lg3=0.4)


              命題意圖:本題主要考查等比數列的基本性質與對數運算法則,等差數列與等比數列之間的聯系以及運算、分析能力.屬★★★★★級題目.


              知識依托:本題須利用等比數列通項公式、前n項和公式合理轉化條件,求出an;進而利用對數的運算性質明確數列{lgan}為等差數列,分析該數列項的分布規律從而得解.


              錯解分析:題設條件中既有和的關系,又有項的關系,條件的正確轉化是關鍵,計算易出錯;而對數的運算性質也是易混淆的地方.


              技巧與方法:突破本題的關鍵在于明確等比數列各項的對數構成等差數列,而等差數列中前n項和有最大值,一定是該數列中前面是正數,后面是負數,當然各正數之和最大;另外,等差數列Sn是n的二次函數,也可由函數解析式求最值.


              解法一:設公比為q,項數為2m,m∈N*,依題意有


              化簡得 .


              設數列{lgan}前n項和為Sn,則


              Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn-1=lga1n·q1+2+…+(n-1)


              =nlga1+ n(n-1)·lgq=n(2lg2+lg3)- n(n-1)lg3


              =(- )·n2+(2lg2+ lg3)·n


              可見,當n= 時,Sn最大.


              而 =5,故{lgan}的前5項和最大.


              解法二:接前, ,于是lgan=lg[108( )n-1]=lg108+(n-1)lg ,


              ∴數列{lgan}是以lg108為首項,以lg 為公差的等差數列,令lgan≥0,得2lg2-(n-4)lg3≥0,∴n≤ =5.5.


              由于n∈N*,可見數列{lgan}的前5項和最大.


              ●錦囊妙計


              1.等差、等比數列的性質是兩種數列基本規律的深刻體現,是解決等差、等比數列問題的既快捷又方便的工具,應有意識去應用.


              2.在應用性質時要注意性質的前提條件,有時需要進行適當變形.


              3.“巧用性質、減少運算量”在等差、等比數列的計算中非常重要,但用“基本量法”并樹立“目標意識”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地運用條件,又要時刻注意題的目標,往往能取得與“巧用性質”解題相同的效果.


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