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            2020年山東成人高考文科數學復習重點:數列的通項與求和

            山東成人高考網www.gzjiahua168.cn 發布時間: 2020年10月17日

                  數列是函數概念的繼續和延伸,數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數,是函數思想在數列中的應用.數列以通項為綱,數列的問題,最終歸結為對數列通項的研究,而數列的前n項和Sn可視為數列{Sn}的通項。通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一,與數列極限及數學歸納法有著密切的聯系,是成人高考對數列問題考查中的熱點,本點的動態函數觀點解決有關問題,為其提供行之有效的方法.


              ●難點磁場


              (★★★★★)設{an}是正數組成的數列,其前n項和為Sn,并且對于所有的自然數n,an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.


              (1)寫出數列{an}的前3項.


              (2)求數列{an}的通項公式(寫出推證過程)


              (3)令bn= (n∈N*),求 (b1+b2+b3+…+bn-n).


              ●案例探究


              [例1]已知數列{an}是公差為d的等差數列,數列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數列,若函數f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),


              (1)求數列{an}和{bn}的通項公式;


              (2)設數列{cn}的前n項和為Sn,對一切n∈N*,都有 =an+1成立,求 .


              命題意圖:本題主要考查等差、等比數列的通項公式及前n項和公式、數列的極限,以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★★★★級題目.


              知識依托:本題利用函數思想把題設條件轉化為方程問題非常明顯,而(2)中條件等式的左邊可視為某數列前n項和,實質上是該數列前n項和與數列{an}的關系,借助通項與前n項和的關系求解cn是該條件轉化的突破口.


              錯解分析:本題兩問環環相扣,(1)問是基礎,但解方程求基本量a1、b1、d、q,計算不準易出錯;(2)問中對條件的正確認識和轉化是關鍵.


              技巧與方法:本題(1)問運用函數思想轉化為方程問題,思路較為自然,(2)問“借雞生蛋”構造新數列{dn},運用和與通項的關系求出dn,絲絲入扣.


              解:(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,


              ∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,


              ∵d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,


              ∴ =q2,由q∈R,且q≠1,得q=-2,


              ∴bn=b·qn-1=4·(-2)n-1


              (2)令 =dn,則d1+d2+…+dn=an+1,(n∈N*),


              ∴dn=an+1-an=2,


              ∴ =2,即cn=2·bn=8·(-2)n-1;∴Sn= [1-(-2)n].


              ∴ [例2]設An為數列{an}的前n項和,An= (an-1),數列{bn}的通項公式為bn=4n+3;


              (1)求數列{an}的通項公式;


              (2)把數列{an}與{bn}的公共項按從小到大的順序排成一個新的數列,證明:數列{dn}的通項公式為dn=32n+1;


              (3)設數列{dn}的第n項是數列{bn}中的第r項,Br為數列{bn}的前r項的和;Dn為數列{dn}的前n項和,Tn=Br-Dn,求 .


              命題意圖:本題考查數列的通項公式及前n項和公式及其相互關系;集合的相關概念,數列極限,以及邏輯推理能力.


              知識依托:利用項與和的關系求an是本題的先決;(2)問中探尋{an}與{bn}的相通之處,須借助于二項式定理;而(3)問中利用求和公式求和則是最基本的知識點.


              錯解分析:待證通項dn=32n+1與an的共同點易被忽視而寸步難行;注意不到r與n的關系,使Tn中既含有n,又含有r,會使所求的極限模糊不清.


              技巧與方法:(1)問中項與和的關系為常規方法,(2)問中把3拆解為4-1,再利用二項式定理,尋找數列通項在形式上相通之處堪稱妙筆;(3)問中挖掘出n與r的關系,正確表示Br,問題便可迎刃而解.


              解:(1)由An= (an-1),可知An+1= (an+1-1),


              ∴an+1-an= (an+1-an),即 =3,而a1=A1= (a1-1),得a1=3,所以數列是以3為首項,公比為3的等比數列,數列{an}的通項公式an=3n.


              (2)∵32n+1=3·32n=3·(4-1)2n=3·[42n+C ·42n-1(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n]=4n+3,


              ∴32n+1∈{bn}.而數32n=(4-1)2n=42n+C ·42n-1·(-1)+…+C ·4·(-1)+(-1)2n=(4k+1),


              ∴32n {bn},而數列{an}={a2n+1}∪{a2n},∴dn=32n+1.


              (3)由32n+1=4·r+3,可知r= ,


              ∴Br= ,


              ●錦囊妙計


              1.數列中數的有序性是數列定義的靈魂,要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同.因此在研究數列問題時既要注意函數方法的普遍性,又要注意數列方法的特殊性.


              2.數列{an}前n 項和Sn與通項an的關系式:an= 3.求通項常用方法


             ?、僮餍聰盗蟹?作等差數列與等比數列.


             ?、诶鄄畀B加法.最基本形式是:an=(an-an-1+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1.


             ?、蹥w納、猜想法.


              4.數列前n項和常用求法


             ?、僦匾?/p>


              1+2+…+n= n(n+1)


              12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)


              13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2


             ?、诘炔顢盗兄蠸m+n=Sm+Sn+mnd,等比數列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn.


             ?、哿秧椙蠛停簩盗械耐椃殖蓛蓚€式子的代數和,即an=f(n+1)-f(n),然后累加時抵消中間的許多項.應掌握以下常見的裂項:


             ?、苠e項相消法


             ?、莶㈨椙蠛头?/p>


              數列通項與和的方法多種多樣,要視具體情形選用合適方法.


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